「ベン図」の解説(2)

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2020年05月26日 公開

1-3.扱う集合が2つの場合

前節では、男子生徒の集合Mを考えましたが、今度はMに加えて、クラスの中でピアノを習っている生徒の集合Pを考えてみます。表1より、集合Pの全要素は式(13)で表せます。

参考:piano(ピアノ)の頭文字を取って、ピアノを習っている生徒の集合をPとしました。

P = { 一郎, さくら, 詩織, 太郎, 花子, 雅治 } ··· (13)

また、Pの補集合、つまりピアノを習っていない生徒の集合Pは、式(14)で表せます。

P = { 健太, 達也, 瞳, 美咲 } ··· (14)

1つのベン図に、男子生徒の集合Mと、ピアノを習っている生徒の集合Pを表すと、図6の様になります。

図6、男子生徒の集合Mとピアノを習っている生徒の集合Pを描いたベン図
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図6、男子生徒の集合Mとピアノを習っている生徒の集合Pを描いたベン図

このベン図を見ると分かる様に、一郎、太郎、雅治の3人は、男子生徒の集合Mと、ピアノを習っている生徒の集合Pの両方に属しています。(3人は、ベン図の中で集合Mを表す線と、集合Pを表す線の両方に囲まれています) この一郎、太郎、雅治の3人からなる集合は集合Mと集合Pの共通部分と呼ばれます。

一般に、集合Aと集合Bのどちらにも属する全ての要素で構成された集合を、AB共通部分(intersection)または積集合といい、ABで表します。

注:積集合という言葉は、直積集合の事を指す場合もあります。

ABABの関係をベン図で表すと、図7の様になります。

図7、AとBと、それらの共通部分A∩Bの関係
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図7、ABと、それらの共通部分ABの関係

ピンク色の部分がABです。

図7のピンク色の部分がABを表しています。ピンク色の部分は、集合Aの線の内側にも、集合Bの線の内側にも入っている事が分かります。

クラスの生徒の例では、集合Mは男子生徒の集合を表し、集合Pはピアノを習っている生徒の集合を表していますから、それらの共通部分MPは、ピアノを習っている男子生徒の集合になります。MPの全要素を数式で表すと、式(15)になります。

MP = { 一郎, 太郎, 雅治 } ··· (15)

先程挙げた一郎、太郎、雅治の3人は、図6において、集合Mの線の内側にも、集合Pの線の内側にも入っている事が分かります。またMの線の内側にもPの線の内側にも入っている生徒は、一郎、太郎、雅治の3人以外にはいない事が分かります。

またMPは、ピアノを習っていない男子生徒の集合という意味になり、その全要素を数式で表すと、式(16)になります。

MP = { 健太, 達也 } ··· (16)

図6を見ると、健太と達也の2人は、集合Mの線の内側には入っていますが、集合Pの線の内側には入っていない事が分かります。また、Mの線の内側には入っているものの、Pの線の内側に入っていない生徒は、健太と達也以外にはいない事も分かります。

同様に、MPはピアノを習っている女子生徒の集合という意味になり、またMPはピアノを習っていない女子生徒の集合という意味になります。MPMPの全要素を数式で表すと、それぞれ式(17)と式(18)になります。

MP = { さくら, 詩織, 花子 } ··· (17)
MP = { 瞳, 美咲 } ··· (18)

集合Aと集合Bの両方を描いたベン図の中で、ABABAB、およびABの4つの集合が、どの部分にあたるかを図示すると、一般に図8の様になります。

図8、A∩B、A∩B、A∩B、およびA∩Bの領域
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図8、ABABAB、およびABの領域

ただし、集合Aと集合Bの選び方によっては、ABABAB、およびABの4つの集合の中に、空集合が含まれる事があります。

例えば、AB={ }の場合(ABの共通部分が空集合の場合)、ABAB、およびABの3つの集合の関係をベン図で表すと、図9の様になります。

図9、A∩B={ }の場合の、A∩B、A∩B、およびA∩Bの関係
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図9、AB={ }の場合の、ABAB、およびABの関係

空集合のABを描かない事にすると、この様な図になります。この様に空集合を描かない図は、厳密にはベン図ではなくオイラー図というのですが(ベン図は空集合も図に描きます)、オイラー図とベン図を区別せずに、両方をベン図と呼ぶ事もよくあります。この記事では、オイラー図の事もベン図と呼びます。

他の例として、AB={ }の場合のABAB、およびABの関係をベン図で表すと、図10の様になります。

図10、A∩B={ }の場合の、A∩B、A∩B、およびA∩Bの関係
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図10、AB={ }の場合の、ABAB、およびABの関係

AB={ }の場合は、ABが包含関係になります。

ところで一般に、集合Aと集合Bの少なくともどちらか一方に属する全ての物で構成された集合を、AB和集合(union)といい、ABで表します。

ABABの関係をベン図で表すと、図11の様になります。

図11、AとBと、それらの和集合A∪Bの関係
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図11、ABと、それらの和集合ABの関係

ABABAB、およびABの4つの集合の全てが、空集合でない事を仮定して作図しています。

クラスの生徒の例で考えてみます。男子生徒の集合Mとピアノを習っている生徒の集合Pの和集合、MPの要素を数式で表すと、式(19)になります。

MP = { 一郎、健太、さくら、詩織、達也、太郎、花子、雅治 } ··· (19)

式(19)に出てくる8人は全員、集合Mか集合Pの少なくとも一方に属しており、また集合Mか集合Pの少なくとも一方に属している生徒は、式(19)に出てくる8人以外にいない事が図6で確認できます。

ABが図11の様なベン図で表されると先程説明しましたが、これは、ABABAB、およびABの4つの集合の全てが、空集合でない場合の話です。

AB={ }の場合を考えると、ABは、図12に示す集合になります。

図12、A∩B={ }の場合のA∪Bの領域
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図12、A∩B={ }の場合のA∪Bの領域

ピンク色の部分がA∪Bです。

図12では、集合Aと集合Bが接する様に描かれていますが、もし、図9の様に、ABを離して描くと、ABが2つの領域に分かれてしまう事に注意が必要です。

注:ABが2つの領域に分かれてしまった図を描いても、間違いという訳ではありません。

またAB={ }の場合は、図13に示す様にABの部分集合になり、AB=Bとなります。

図13、A∩Bの場合のA∪Bの領域
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図13、ABの場合のABの領域

ピンク色の部分がABです。

図11の様に、ABABAB、およびABの4つの集合が全て空集合ではない場合、ABAB、およびABをベン図で示すと、それぞれ図14、図15、および図16になります。

図14、A∪Bの領域
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図14、ABの領域

ピンク色の部分がABです。

図15、A∪Bの領域
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図15、ABの領域

ピンク色の部分がABです。

図16、A∪Bの領域
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図16、ABの領域

ピンク色の部分がABです。

なお、図16と図7とを見比べると、ABは、ABの補集合(AB)と等しい事が分かります。この事から示される式(20)の関係は、ド・モルガンの法則と呼ばれています。

図7(再掲)、AとBと、それらの共通部分A∩Bの関係
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図7(再掲)、ABと、それらの共通部分ABの関係

ピンク色の部分がABです。

AB = AB ··· (20)

次のページでは、扱う集合が3つ以上の場合のベン図について説明します。

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