投稿者: しなぷす

前回は、注目する点がちょうど円弧上にあった時に、その点が1/4円の内部にあると解釈するべきか、外部にあると解釈するべきかという、細かい点について説明しました。

今回は、いよいよ整数演算だけで円周率を計算するプログラムを作ってみます。

前回は、 x y 平面内の点( x , y )が、半径 R の1/4円(第1象限内)の内部にあるか、外部にあるかを判定するには、 y の値が( R ²+ x ²)^0.5より大きいか小さいかを調べればよい事を説明しました。 y の値が( R ²+ x ²)^0.5より大きければ、点 ( x , y )は1/4円の外部にありますし、 y の値が( R ²+ x ²)^0.5より小さければ、1/4円の内部にあります。

y の値が( R ²+ x ²)^0.5とちょうど同じなら、点( x , y )は1/4円の円弧上にあるのですが、今回の記事では、1/4円の面積を求める(つまり円周率を近似計算する)にあたって、ちょうど円弧上にある点をどう扱うべきかを説明します。

また、その説明にあたって、ピタゴラス数という概念が出てきますので、ピタゴラス数についても若干の説明をします。

前回から、整数の足し算と引き算だけで円周率の近似値を求めるアルゴリズムについて解説しています。

多くの桁を高速で求めるのに適したアルゴリズムではないものの、整数の足し算と引き算しか出てこないので、ハードウェアに実装する場合に、部品数が少なくて済むというメリットがあります。今回はそこまで踏み込みませんが、HDLを使ってFPGAなどに実装するのも容易です。

前回は、この連載で説明しているアルゴリズムが、1/4円の面積を、定積分の近似計算で求めている事を説明しました。また、定積分の近似計算を、浮動小数点を使って行うプログラムを例示しました。

今回は、整数演算だけで、ほぼ同様の計算ができる事を説明します。

足し算と引き算だけで円周率の近似値を求めるアルゴリズムを考えたので、紹介します。

はじめに

コンピュータを使って円周率の近似値を求める事は、コンピュータの性能の指標として、昔から行われてきました。

円周率を求めるアルゴリズムは色々ありますが、そのどれもが少なくとも四則演算を使いますし、場合によっては、平方根など、もっと複雑な計算が必要な物もあります。

私も中学生の頃に、ライプニッツの公式という簡単な公式で円周率が求まる事を知り、8ビットのBASICが動くパソコン(PC-8001)で円周率を求めるのに夢中になっていた時期があります。ライプニッツの公式は、収束がとても遅い式なのですが、何日もかけて計算して、徐々に円周率に収束していく様子を飽きもせずに見ていました。

ライプニッツの公式は、次の様な公式です。

π = 4 − 4/3 + 4/5 − 4/7 + 4/9 − 4/11 + 4/13 − 4/15 + ・・・

足し算と引き算と割り算だけが出てくる式です。数式は際限なく続くのですが、右の項ほど値が小さくなり、計算を途中で打ち切っても円周率の近似値が出ます。